主張 証明 例(院試) 行列から定まる線形写像以外の線形写像の固有空間を求めるときに使う命題について書いた. 主張 命題を有限次元線形空間とし, を線形変換とする. の基底に関するの表現行列をとする. をの固有値とする. このとき, 次の(1), (2)が成り立つ.…

ベクトルでの微分の公式の一覧は以下のサイトが役立つ 「ベクトルで微分・行列で微分」公式まとめ - Qiitaまた, その応用として重回帰係数の推定がある.

問題 解答 発想とポイント 類題 参考文献 問題 を満たすは上対角化可能であるか判定せよ. 解答 解答 発想とポイント 命題に対し, 次が同値である. (1) は上対角化可能である. (2) の最小多項式は重根を持たない. 類題 puzzler7.hatenadiary.com 参考文献 www…

問題 解答 発想とポイント 問題 探してください。 解答 発想とポイント 線形変換の固有値と固有空間を求めるという典型問題である。 ただ、行列の固有値と固有空間を求める問題には慣れていても、線形変換の問題には慣れていない人も多いのではないか？ 重要…

参考文献 www.amazon.co.jp

問題 解答 発想とポイント 問題 令和3(2021)年度修士課程入学試験について | 東京大学大学院数理科学研究科理学部数学科・理学部数学科 解答 発想とポイント より、の具体的な形がわかればがわかる。 ただの計算は無理ゲーなので、を対角化やジョルダン標準…

問題 解答 発想とポイント 問題 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻大学院入学試験問題 解答 発想とポイント ベキ零行列の定義と必要十分条件とその証明が頭に入っているかが重要。定義がベキ零行列であるとは、ある以上の整数が存在してのときにいう。…

問題 解答 発想とポイント 問題 過去の入試問題 | Department of Mathematics Kyoto University 解答 発想とポイント 存在問題だから、自分でを構成する必要がある。とりあえず使える道具は問題文より、で、は全射であることがわかる。 線形代数において、全…

定理を線形空間, を全射線形写像とする. の部分空間について, 次が同値である. (1) である. (2) は同型である.参考文献 はてなブログで数式を書く - 七誌の開発日記

問題 解答 発想とポイント 問題 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻大学院入学試験問題 解答 発想とポイント より、を調べる。 の基本的な性質として、がある。 この次元の列は下に有界な広義単調減少列だから、必ず等しい部分があり、それ以降は常に等…

一般固有空間(広義固有空間) 性質

東京大学大学院 情報理工学研究科 数理情報学 2019年度 第1問 解答

東京大学大学院 情報理工学研究科 数理情報学 2020年度 第1問 解答

命題1 命題2 命題1 を体, とする. このとき, と の固有値は(代数的)重複度も込めて等しい.(証明) として, \begin{align} C = \begin{bmatrix} xI_n & A \\ B & I_n \end{bmatrix} , \quad D = \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ -B & xI_n \end{bmatrix} \end{alig…

(1) (2) 過去の入試問題 | Department of Mathematics Kyoto University (1) は の固有値だから, ある が存在して, かつ を満たす. このとき, \begin{align} AB(Ax) = A(BAx) = A(\lambda x) = \lambda (Ax) \end{align} と仮定すると, 両辺に左から を掛け…

東京大学大学院 情報理工学研究科 数学 2016年度 第1問 解答

(1) (2) (3) (4) (5) (1) 自明. (2) 自明. (3) 自明. (4) 自明. (5) , , とおく. 任意の に対し, \begin{align} f(x) &= \sum_{k=1}^n ||x-b_k||^2 \\ &= \sum_{k=1}^n ||(x-\hat{x}) + (\hat{x}-b_k)||^2 \\ &= \sum_{k=1}^n \{ ||x-\hat{x}||^2 + ||\hat{x…