東京大学大学院情報理工学研究科数学 2016年度第1問解答

(1)

明らかに, $A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ である.

(2)

明らかに, $A$ のランクは $\text{rank} \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = 3$ である.
明らかに, $A$ の特性方程式は $t^3 - t^2 - t - 1 = 0$ である.

(3)

固有値 $\lambda_i$ , $(i = 1, 2, 3)$ に対応する固有ベクトルを自明な方法で求めると, $\begin{bmatrix} \lambda_i^2 \\ \lambda_i \\ 1 \end{bmatrix}$ の定数倍で表せる.

(4)

写像 $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ を $f(t) = t^3 - t^2 - t - 1 = 0$ と定めると, $t$ の多項式より, 連続だから, その制限写像 $f|_{[0, 2]}$ も連続である.
$f(1) = -2 < 0$ , $f(2) = 1 > 0$ だから, 中間値の定理より, $f(c) = 0$ を満たす $c \in (1, 2)$ が存在する.
また, 高校数学より増減表を書くと, グラフ $f$ と $x$ 軸の交点は $t = c$ のみだとわかる.
よって, 主張を得る.

(5)

$\begin{bmatrix} T_{n+3} \\ T_{n+2} \\ T_{n+1} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} T_{n+2} \\ T_{n+1} \\ T_n \end{bmatrix} = A^{n+1} \begin{bmatrix} T_2 \\ T_1\\ T_0 \end{bmatrix} = A^{n+1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ である.
$(1)$ と $(3)$ より, $A$ は対角化可能で, $P := \begin{bmatrix} \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$ とおくと,
\begin{align}
P^{-1} A P &= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} \\
A^{n+1} &= P \begin{bmatrix} \lambda_1^{n+1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2^{n+1} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3^{n+1} \end{bmatrix} P^{-1}
\end{align}
$P \begin{bmatrix} \lambda_1^{n+1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2^{n+1} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3^{n+1} \end{bmatrix}$ の第 $1$ 行の行ベクトルは $\begin{bmatrix} \lambda_1^{n+3} & \lambda_2^{n+3} & \lambda_3^{n+3} \end{bmatrix}$ でだから,
$P \begin{bmatrix} \lambda_1^{n+1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2^{n+1} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3^{n+1} \end{bmatrix} P^{-1}$ の $(1, 1)$ 成分は, ある複素定数 $c_1, c_2, c_3$ を用いて, $c_1 \lambda_1^{n+3} + c_2 \lambda_2^{n+3} + c_3 \lambda_3^{n+3}$ と表せる.
よって, $T_{n+3} = c_1 \lambda_1^{n+3} + c_2 \lambda_2^{n+3} + c_3 \lambda_3^{n+3}$ , すなわち, $T_{n} = c_1 \lambda_1^{n} + c_2 \lambda_2^{n} + c_3 \lambda_3^{n}$ である.

(6)

$t^3 - t^2 - t - 1 = 0$ において解と係数の関係より, $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1$ が成立.
$(4)$ より, $|\frac{\lambda_2}{\lambda_1}||\frac{\lambda_3}{\lambda_1}| = |\frac{1}{\lambda_1}| < 1$ だから, $|\frac{\lambda_2}{\lambda_1}| <1$ または $|\frac{\lambda_3}{\lambda_1}| <1$ である.
$\lambda_2$ と $\lambda_3$ は複素共役より, $|\frac{\lambda_2}{\lambda_1}| <1$ かつ $|\frac{\lambda_3}{\lambda_1}| <1$ である.
よって, $\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^n = 0$ , $\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{\lambda_3}{\lambda_1}\right)^n = 0$ である.
したがって,
\begin{align}
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{T_{n+1}}{T_n} &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{c_1 \lambda_1^{n+1} + c_2 \lambda_2^{n+1} + c_3 \lambda_3^{n+1}}{c_1 \lambda_1^{n} + c_2 \lambda_2^{n} + c_3 \lambda_3^{n}} \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{c_1 \lambda_1 + c_2 \lambda_2 (\frac{\lambda_2}{\lambda_1})^{n} + c_3 \lambda_3 (\frac{\lambda_3}{\lambda_1})^{n}}{c_1 + c_2 (\frac{\lambda_2}{\lambda_1})^{n} + c_3 (\frac{\lambda_3}{\lambda_1})^{n}} \\
& = \lambda_1
\end{align}