線形写像の固有空間と表現行列の固有空間の関係

主張
証明
例(院試)

行列から定まる線形写像以外の線形写像の固有空間を求めるときに使う命題について書いた.

主張

命題 $V$ を有限次元 $K$ 線形空間とし, $f:V \rightarrow V$ を線形変換とする.
$V$ の基底 $v_1, \dots, v_n$ に関する $f$ の表現行列を $A$ とする.
$\lambda$ を $f$ の固有値とする.
このとき, 次の(1), (2)が成り立つ.
(1) $x \in K^n$ が $\lambda$ に属する $A$ の固有ベクトルであることと, $(v_1, \dots, v_n)x \in V$ が $\lambda$ に属する $f$ の固有ベクトルであることは同値である.
(2) $x_1, \dots, x_k \in K^n$ が $\lambda$ に属する $A$ の固有空間の基底であることと, $(v_1, \dots, v_n)x_1, \dots, (v_1, \dots, v_n)x_k \in V$ が $\lambda$ に属する $f$ の固有空間の基底であることは同値である.

証明

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例(院試)

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