京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻基礎科目 2017年度第3問解答

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(1)

$\lambda$ は $BA$ の固有値だから, ある $x \in \mathbb{C}^m$ が存在して, $BAx = \lambda x$ かつ $x \neq 0$ を満たす.
このとき,
\begin{align}
AB(Ax) = A(BAx)
= A(\lambda x)
= \lambda (Ax)
\end{align}
$Ax = 0$ と仮定すると, 両辺に左から $B$ を掛けると, $\lambda x = 0$ となる. このことは $\lambda \neq 0$ かつ $x \neq 0$ であることに矛盾するから, $Ax \neq 0$ である. よって, $\lambda$ は $AB$ の固有値でもある.

(2)

(1)の証明と同様の議論により, (1)の主張の逆も成り立つ. よって, $\lambda$ が $BA$ の固有値であることと $\lambda$ が $AB$ の固有値であることは同値である.(＊)
(i) $\lambda$ が $BA$ の固有値でないとき, (＊)より, $\lambda$ は $AB$ の固有値でもない.
よって, $V = \{0\} = W$ より, $\text{dim} V = \text{dim} W$ である.
(ii) $\lambda$ が $BA$ の固有値であるとき, (＊)より, $\lambda$ は $AB$ の固有値である.
このとき, $V$ は $BA$ の固有値 $\lambda$ に対応する一般固有空間であり, $W$ は $AB$ の固有値 $\lambda$ に対応する一般固有空間である.
一般に $BA$ と $AB$ の非零固有値は重複度も込めて等しいから, $\lambda \neq 0$ より, $BA$ の固有値としての $\lambda$ の重複度と $AB$ の固有値としての $\lambda$ の重複度は等しい.
また, 一般固有空間の次元は対応する固有値の重複度に一致するから, $\text{dim} V = \text{dim} W$ である.