東京大学大学院情報理工学研究科数理情報学 2020年度第1問解答

(1)

$C = (C_1, \dots , C_n), A = (A_1, \dots , A_n)$ とおくと, $BC + CB = A$ はクロネッカー積 $\otimes$ を用いて,
\begin{align}
(I_n \otimes B + B \otimes I_n) \begin{pmatrix}
C_1 \\
\vdots \\
C_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A_1 \\
\vdots \\
A_n
\end{pmatrix}
\end{align}と変形できる.
$B$ の固有値を $\lambda_1, \dots , \lambda_n$ とおくと, $I_n \otimes B + B \otimes I_n$ の固有値は $\lambda_i + \lambda_j, (1 \leq i, j \leq n)$ である.
$B$ は正定値より, $\lambda_i > 0, ^\forall i$ であるから, $\lambda_i + \lambda_j > 0, ^\forall i, j$ である.
したがって, $I_n \otimes B + B \otimes I_n$ は正則行列だから, $BC + CB = A$ を満たす $C$ はただ一つ存在する. Q.E.D.

(2)

(i) $BC_{A,B}=C_{A,B}B \Rightarrow AB=BA$ を示す.
\begin{align}
AB &= (BC_{A,B}+C_{A,B}B)B \\
&= BC_{A,B}B+C_{A,B}B^2 \\
&= B^2C_{A,B}+BC_{A,B}B \quad (\because BC_{A,B}=C_{A,B}B) \\
&= B(BC_{A,B}+C_{A,B}B) \\
&= BA
\end{align}Q.E.D
(ii) $BC_{A,B}=C_{A,B}B \Leftarrow AB=BA$ を示す.
$B$ は正定値より正則行列であることに注意すると,
\begin{align}
BC_{A,B}+C_{A,B}B=A &\Leftrightarrow BC_{A,B}B+C_{A,B}B^2 = AB \\
&\Leftrightarrow BC_{A,B}B+C_{A,B}B^2 = BA \quad (\because AB=BA)\\
&\Leftrightarrow C_{A,B}B+B^{-1}C_{A,B}B^2 = A \\
& \Leftrightarrow B(B^{-1}C_{A,B}B)+(B^{-1}C_{A,B}B)B = A\\
\end{align} $BC_{A,B}+C_{A,B}B=A$ の $C_{A,B}$ の一意性より,
\begin{align}
C_{A,B}=B^{-1}C_{A,B}B \Leftrightarrow BC_{A,B}=C_{A,B}B
\end{align}Q.E.D