確率論を使うと見通しが良くなる問題

例1
例2(ワイエルシュトラスの多項式近似定理)
例3(スターリングの公式)

例1

極限\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{x_1 + \cdots + x_n} dx_1 \cdots dx_n
\end{align}を求めよ.

解答

$\{X_n\}_{n \geq 1}$ を $\rm{i.i.d}$ な確率変数列で, $X_1 \sim U(0,1)$ とする.
大数の強法則より, \begin{align}
\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} \xrightarrow{a.s.} E[X_1] = \frac{1}{2}, \quad \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{n} \xrightarrow{a.s.} E[X_1^2] = \frac{1}{3}.
\end{align}よって, \begin{align}
\frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} = \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{n} \cdot \frac{n}{X_1 + \cdots + X_n} \xrightarrow{a.s.} \frac{2}{3}.
\end{align}また, $0 < X_i < 1\, a.s.$ より, \begin{align}
0 < \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} < 1 \, a.s.
\end{align}だから, \begin{align}
E\left [ \left| \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} \right | \right ]< 1 .
\end{align}有界収束定理より,
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} E\left [ \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} \right ] = \frac{2}{3}.
\end{align}したがって, \begin{align}
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{x_1 + \cdots + x_n} dx_1 \cdots dx_n = \lim_{n \to \infty} E\left [ \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} \right ] = \frac{2}{3}.
\end{align}

例2(ワイエルシュトラスの多項式近似定理)

$f:[0, 1] \to \mathbb{R}$ を連続関数とする. このとき, 多項式列 $\{f_n\}_{n \geq 1}$ が存在して, $f_n$ は $f$ に一様収束する.

解答

$f_n:[0, 1] \to \mathbb{R}$ を \begin{align}
f_n(x) := \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f \left (\frac{k}{n} \right) x^k (1-x)^{n-k}
\end{align}と定める. この $f_n$ が $f$ に一様収束することを示す.
$\{X_n\}_{n \geq 1}$ を $\rm{i.i.d}$ な確率変数列で, $X_1 \sim Ber(p), (0 \leq p \leq 1)$ とする.
$S_n := \sum_{i=1}^n X_i$ とおくと, $S_n \sim B(n, p)$ より, $E[ f(\frac{S_n}{n})] = f_n(p)$ .
$\delta > 0$ を任意にとる.
\begin{align}
| f_n(p) - f(p) | & \leq E\left [ \left | f \left (\frac{S_n}{n} \right ) - f(p) \right | \right ] \\
& = E\left [ \left | f \left (\frac{S_n}{n} \right ) - f(p) \right | : \left |\frac{S_n}{n} - p \right | \geq \delta \right ] + E\left [ \left | f \left (\frac{S_n}{n} \right ) - f(p) \right | : \left |\frac{S_n}{n} - p \right | < \delta \right ] \\
& \leq 2 \|f\|_{\infty} P\left (\left |\frac{S_n}{n} - p \right | \leq \delta \right ) + \sup_{|x-y| < \delta, \\ x,y \in [0,1]}|f(x) - f(y)|
\end{align}ここで,
\begin{align}
P \left (\left | \frac{S_n}{n} - p \right | \geq \delta \right ) \leq \frac{1}{\delta ^2} E\left [ \left | \frac{S_n}{n} - p \right | ^2 \right ] = \frac{p(1-p)}{\delta ^2n} \leq
\frac{1}{4\delta ^2n}.
\end{align}よって,
\begin{align}
| f_n(p) - f(p) | \leq \frac{\|f\|_{\infty}}{2\delta ^2n} + \sup_{|x-y| < \delta, \\ x,y \in [0,1]}|f(x) - f(y)|.
\end{align}右辺は $p$ に依存しないから,
\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sup_{p \in [0, 1]} | f_n(p) - f(p) | \leq \sup_{|x-y| < \delta, \\ x,y \in [0,1]}|f(x) - f(y)|.
\end{align} $f$ は $[0, 1]$ 上で連続より, 一様連続だから, $\delta \to +0$ とすれば, 主張を得る.

例3(スターリングの公式)

$n! \sim \sqrt{2 \pi}e^{-n}n^{n + 1/2}$ が成り立つ. ただし, $a_n \sim b_n$ は $\lim_{n \to \infty} a_n/b_n = 1$ を表す.

解答

$\{X_n\}_{n \geq 1}$ を $\rm{i.i.d}$ な確率変数列で, $X_1 \sim Exp(1)$ とする.
$S_n := \sum_{i=1}^n X_i$ , $Z_n := (S_n - n)/ \sqrt{n}$ とおくと, 中心極限定理より, $Z_n \xrightarrow{d} Z$ . ただし, $Z \sim N(0, 1)$ .
さらに, 絶対値関数は $\mathbb{R}$ 上連続だから, 連続写像定理より, $|Z_n| \xrightarrow{d} |Z|$ .
また, $Z_n \sim Gam(n, 1)$ に注意すると,
\begin{align}
E[|Z_n|] = \frac{2e^{-n}n^{n + 1/2}}{n!}, \quad E[|Z|] = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.
\end{align}次の補題が成り立つ.