2021-01-07

大学数学　典型問題と定石　目次

方法論

抽象論
集合・写像
- (道具)全射
線形代数学
- (逆算)全射
微分積分学
- (道具)積分と総和
位相空間論
常微分方程式
ルベーグ積分
フーリエ解析
関数解析学
確率論
偏微分方程式
群論
環論
体論
多様体論
ホモロジー論
微分形式
微分幾何学

抽象論

簡単な場合で証明できるか？そしてその場合に帰着できるか？

問題に出会ったとき、考えている対象が何かに対して不変なものであるかを確認する。
(例1) 不変量を利用する。
ある線形空間 $X$ の次元をを求めたいとする。このとき、 $\dim(X)$ を直接求めるのではなく、 $X$ と同型で簡単なもの $Y$ を見つければ良い。
平成30年度東大数理科学院試基礎第５問解答 - 数学メモ置き場

(例2) 稠密と不等式を利用する。
空間 $X$ 上の関数列 ${f_n}$ と関数 $f$ に対して、ある量 $I(f_n)$ が $I(f)$ に収束することを示したいとする。このとき、 $X$ が空間 $Y$ で稠密ならば、 $g_n, g \in Y$ をとり、 $|I(f_n) - I(f)| \leq |I(f_n) - I(g_n)| + |I(g_n) - I(g)| + |I(g) - I(f)|$ より、 $|I(f_n) - I(f)|$ の代わりに $|I(g_n) - I(g)|$ を評価すれば良い。

・平成23年度東工大数学専攻院試午後第9問
・平成25年度京大数学専攻院試数学2第5問

場合分け

未知を既知の組合せで表せるか？

和・差・積・商・極限・上極限・下極限・min・max・場合分け

(道具)ある条件を満たすものが一意

異なる形をした二つをとり、条件を満たすことから一意性から等号でむすべる

例題:東京大学大学院情報理工学研究科数理情報学 2020年度第1問解答 - 数学メモ置き場の(2)

集合・写像

(道具)全射

問題を解くための鍵となる具体的な値域の元をとる

例題:神戸大院試数学専攻2020午前問題1 - 数学メモ置き場の(5)

線形代数学

線形代数学典型問題・定石・キーワード - 数学メモ置き場

(逆算)全射

表現行列のランクを調べる

例題:九大数理学府院試2021年基礎問題2解答 - 数学メモ置き場

微分積分学

(道具)積分と総和

積分区間を分割し、Σを作る

例題:神戸大院試数学専攻2020午前問題3(3) - 数学メモ置き場

上極限・下極限（数列）
上極限・下極限（関数）
右連続・左連続
ランダウ記号
連続率
- 写像の連続性を測るもの | Mathlog
進数表示
カントール集合
- カントール集合の定義と性質3つの証明 | 数学の景色
リーマン・スティルチェス積分

位相空間論

常微分方程式

ルベーグ 積分

フーリエ解析

関数解析学

確率論

Standard machine
定理
- 示したい性質を満たすものからなる集合を考える
Truncate (Cut off)
The subsequence method
- 大数の強法則から抽象したテクニック
Stein's method
Stochastic ordering
Distinguishing statistics
- 全変動の下からの評価
Coupling
- 全変動の上からの評価

偏微分方程式

群論

環論

体論

多様体論

ホモロジー論

微分形式

微分幾何学

2023-04-08

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2022-07-18

確率論を使うと見通しが良くなる問題

例1
例2(ワイエルシュトラスの多項式近似定理)
例3(スターリングの公式)

例1

極限\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{x_1 + \cdots + x_n} dx_1 \cdots dx_n
\end{align}を求めよ.

解答

$\{X_n\}_{n \geq 1}$ を $\rm{i.i.d}$ な確率変数列で, $X_1 \sim U(0,1)$ とする.
大数の強法則より, \begin{align}
\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} \xrightarrow{a.s.} E[X_1] = \frac{1}{2}, \quad \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{n} \xrightarrow{a.s.} E[X_1^2] = \frac{1}{3}.
\end{align}よって, \begin{align}
\frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} = \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{n} \cdot \frac{n}{X_1 + \cdots + X_n} \xrightarrow{a.s.} \frac{2}{3}.
\end{align}また, $0 < X_i < 1\, a.s.$ より, \begin{align}
0 < \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} < 1 \, a.s.
\end{align}だから, \begin{align}
E\left [ \left| \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} \right | \right ]< 1 .
\end{align}有界収束定理より,
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} E\left [ \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} \right ] = \frac{2}{3}.
\end{align}したがって, \begin{align}
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{x_1 + \cdots + x_n} dx_1 \cdots dx_n = \lim_{n \to \infty} E\left [ \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{X_1 + \cdots + X_n} \right ] = \frac{2}{3}.
\end{align}

例2(ワイエルシュトラスの多項式近似定理)

$f:[0, 1] \to \mathbb{R}$ を連続関数とする. このとき, 多項式列 $\{f_n\}_{n \geq 1}$ が存在して, $f_n$ は $f$ に一様収束する.

解答

$f_n:[0, 1] \to \mathbb{R}$ を \begin{align}
f_n(x) := \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f \left (\frac{k}{n} \right) x^k (1-x)^{n-k}
\end{align}と定める. この $f_n$ が $f$ に一様収束することを示す.
$\{X_n\}_{n \geq 1}$ を $\rm{i.i.d}$ な確率変数列で, $X_1 \sim Ber(p), (0 \leq p \leq 1)$ とする.
$S_n := \sum_{i=1}^n X_i$ とおくと, $S_n \sim B(n, p)$ より, $E[ f(\frac{S_n}{n})] = f_n(p)$ .
$\delta > 0$ を任意にとる.
\begin{align}
| f_n(p) - f(p) | & \leq E\left [ \left | f \left (\frac{S_n}{n} \right ) - f(p) \right | \right ] \\
& = E\left [ \left | f \left (\frac{S_n}{n} \right ) - f(p) \right | : \left |\frac{S_n}{n} - p \right | \geq \delta \right ] + E\left [ \left | f \left (\frac{S_n}{n} \right ) - f(p) \right | : \left |\frac{S_n}{n} - p \right | < \delta \right ] \\
& \leq 2 \|f\|_{\infty} P\left (\left |\frac{S_n}{n} - p \right | \leq \delta \right ) + \sup_{|x-y| < \delta, \\ x,y \in [0,1]}|f(x) - f(y)|
\end{align}ここで,
\begin{align}
P \left (\left | \frac{S_n}{n} - p \right | \geq \delta \right ) \leq \frac{1}{\delta ^2} E\left [ \left | \frac{S_n}{n} - p \right | ^2 \right ] = \frac{p(1-p)}{\delta ^2n} \leq
\frac{1}{4\delta ^2n}.
\end{align}よって,
\begin{align}
| f_n(p) - f(p) | \leq \frac{\|f\|_{\infty}}{2\delta ^2n} + \sup_{|x-y| < \delta, \\ x,y \in [0,1]}|f(x) - f(y)|.
\end{align}右辺は $p$ に依存しないから,
\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sup_{p \in [0, 1]} | f_n(p) - f(p) | \leq \sup_{|x-y| < \delta, \\ x,y \in [0,1]}|f(x) - f(y)|.
\end{align} $f$ は $[0, 1]$ 上で連続より, 一様連続だから, $\delta \to +0$ とすれば, 主張を得る.

例3(スターリングの公式)

$n! \sim \sqrt{2 \pi}e^{-n}n^{n + 1/2}$ が成り立つ. ただし, $a_n \sim b_n$ は $\lim_{n \to \infty} a_n/b_n = 1$ を表す.

解答

$\{X_n\}_{n \geq 1}$ を $\rm{i.i.d}$ な確率変数列で, $X_1 \sim Exp(1)$ とする.
$S_n := \sum_{i=1}^n X_i$ , $Z_n := (S_n - n)/ \sqrt{n}$ とおくと, 中心極限定理より, $Z_n \xrightarrow{d} Z$ . ただし, $Z \sim N(0, 1)$ .
さらに, 絶対値関数は $\mathbb{R}$ 上連続だから, 連続写像定理より, $|Z_n| \xrightarrow{d} |Z|$ .
また, $Z_n \sim Gam(n, 1)$ に注意すると,
\begin{align}
E[|Z_n|] = \frac{2e^{-n}n^{n + 1/2}}{n!}, \quad E[|Z|] = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.
\end{align}次の補題が成り立つ.