東京大学大学院情報理工学研究科数学 2020年度第1問解答

(1)

自明.

(2)

自明.

(3)

自明.

(4)

自明.

(5)

$\hat{x} := (I + B^2)a$ , $b_k = \exp(\frac{2k\pi}{n}B)a$ , $(k = 1, \dots , n)$ とおく.
任意の $x \in \mathbb{R}^3$ に対し,
\begin{align}
f(x) &= \sum_{k=1}^n ||x-b_k||^2 \\
&= \sum_{k=1}^n ||(x-\hat{x}) + (\hat{x}-b_k)||^2 \\
&= \sum_{k=1}^n \{ ||x-\hat{x}||^2 + ||\hat{x}-b_k||^2 + 2(x-\hat{x})^T(\hat{x}-b_k)\} \\
&= \sum_{k=1}^n ||x-\hat{x}||^2 + \sum_{k=1}^n ||\hat{x}-b_k||^2 + 2(x-\hat{x})^T (\sum_{k=1}^n (\hat{x}-b_k))
\end{align}
ここで, $\sum_{k=1}^n (\hat{x}-b_k) = 0$ である.
実際, $(4)$ より,
\begin{align}
\sum_{k=1}^n b_k &= \left[ \sum_{k=1}^n \left\{I + \left(\sin\frac{2k\pi}{n}\right)B + \left(1 - \cos\frac{2k\pi}{n}\right)B^2 \right\} \right] a \\
&= \left\{n I + n B^2 + \left( \sum_{k=1}^n \sin\frac{2k\pi}{n}\right)B - \left( \sum_{k=1}^n \cos\frac{2k\pi}{n}\right)B^2 \right\} a
\end{align}
$z_k := \cos\frac{2k\pi}{n} + i \sin\frac{2k\pi}{n}$ , $(k = 1, \dots , n)$ は方程式 $z^n - 1 = 0$ の解である.
$n \geq 2$ のとき, 解と係数の関係より, $0 = \sum_{k=1}^n z_k = \sum_{k=1}^n \cos\frac{2k\pi}{n} + i \sum_{k=1}^n \sin\frac{2k\pi}{n}$ だから,
$\sum_{k=1}^n \cos\frac{2k\pi}{n} = \sum_{k=1}^n \sin\frac{2k\pi}{n} = 0$ である.
よって, $\sum_{k=1}^n b_k = (n I + n B^2) a$ だから, $\sum_{k=1}^n (\hat{x}-b_k) = 0$ である.
さて,
\begin{align}
f(x) &= \sum_{k=1}^n ||x-\hat{x}||^2 + \sum_{k=1}^n ||\hat{x}-b_k||^2 + 2(x-\hat{x})^T (\sum_{k=1}^n (\hat{x}-b_k)) \\
&= \sum_{k=1}^n ||x-\hat{x}||^2 + \sum_{k=1}^n ||\hat{x}-b_k||^2 \\
&\geq \sum_{k=1}^n ||\hat{x}-b_k||^2 \\
&= f(\hat{x})
\end{align}
従って, $\hat{x} = (I + B^2)a$ のとき, $f$ は最小となる.