東工大数学専攻院試　午前　第１問　解答

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ベキ零行列の定義と必要十分条件とその証明が頭に入っているかが重要。

定義 $A \in M(n,\mathbb{C})$ がベキ零行列であるとは、ある $1$ 以上の整数 $m$ が存在して $A^m=0$ のときにいう。

命題 $A \in M(n,\mathbb{C})$ について、次が同値である。
(1) $A$ がベキ零行列である。
(2) $A$ の固有値は $0$ のみである。
(3) $A$ の固有多項式は $x^n$ である。
(4) $A^n = 0$ である。