ABとBAの固有値 - 数学メモ置き場

命題1
命題2

命題1

$K$ を体, $A, B \in M_n(K)$ とする.
このとき, $AB$ と $BA$ の固有値は(代数的)重複度も込めて等しい.

(証明)
$x \in K$ として,
\begin{align}
C = \begin{bmatrix} xI_n & A \\ B & I_n \end{bmatrix} , \quad D = \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ -B & xI_n \end{bmatrix}
\end{align}
とおくと,
\begin{align}
CD = \begin{bmatrix} xI_n-AB & xA \\ 0 & xI_n \end{bmatrix} , \quad DC = \begin{bmatrix} xI_n & A \\ 0 & xI_n - BA \end{bmatrix}
\end{align}
$\Phi_{AB}(x), \Phi_{BA}(x)$ を $AB, BA$ の固有多項式とすると,
\begin{align}
x^n \Phi_{AB}(x) &= \text{det}(xI_n)\text{det}(xI_n-AB) \\
&= \text{det}(CD) \\
&= \text{det}(DC) \\
&= \text{det}(xI_n)\text{det}(xI_n-BA) \\
&=x^n \Phi_{BA}(x)
\end{align}
$x \neq 0$ として, $\Phi_{AB}(x) = \Phi_{BA}(x)$ であり, 明らかに $\Phi_{AB}(0) = \Phi_{BA}(0)$ だから,
したがって, $\Phi_{AB}(x) = \Phi_{BA}(x)$ が成り立つ. Q.E.D.

命題2

$K$ を体, $A \in M_{mn}(K), B \in M_{nm}(K)$ とする. ただし, $m \geq n$ とする.
このとき, $\Phi_{AB}(x) = x^{m-n}\Phi_{BA}(x)$ が成り立つ. すなわち,
m次行列 $AB$ と n次行列 $BA$ の非零固有値は(代数的)重複度も込めて等しい.

(証明)
$m=n$ のとき, 命題1より成り立つから, $m > n$ とする.
\begin{align}
\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & 0_{m,m-n} \end{bmatrix} , \quad \tilde{B} = \begin{bmatrix} B \\ 0_{m-n,m} \end{bmatrix}
\end{align}
とおくと, $\tilde{A}, \tilde{B} \in M_m(K)$ であり,
\begin{align}
\tilde{A}\tilde{B} = AB , \quad \tilde{B}\tilde{A} = \begin{bmatrix} BA & 0_{n,m-n} \\ 0_{m-n,m} & 0_{m-n} \end{bmatrix}
\end{align}
である. 命題1より,
\begin{align}
\Phi_{AB}(x) &= \Phi_{\tilde{A}\tilde{B}}(x) \\
&= \Phi_{\tilde{B}\tilde{A}}(x) \\
&= \text{det}(xI_m-\tilde{B}\tilde{A}) \\
&= \text{det} \begin{bmatrix} xI_n - BA & 0_{n,m-n} \\ 0_{m-n,m} & xI_{m-n} \end{bmatrix}\\
&=x^{m-n} \Phi_{BA}(x)
\end{align}
Q.E.D.