九州大学大学院数理学府　2017年度基礎第１問　解答

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発想とポイント

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解答

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発想とポイント

線形変換の固有値と固有空間を求めるという典型問題である。
ただ、行列の固有値と固有空間を求める問題には慣れていても、線形変換の問題には慣れていない人も多いのではないか？
重要なのは次の２つの命題である。

命題有限次元 $K$ 線形空間上の線形変換の固有値はその任意の表現行列の固有値と等しい。

命題 $V$ を有限次元 $K$ 線形空間とし, $f:V \rightarrow V$ を線形変換とする.
$V$ の基底 $v_1, \dots, v_n$ に関する $f$ の表現行列を $A$ とする.
$\lambda$ を $f$ の固有値とする.
このとき, 次の(1), (2)が成り立つ.
(1) $x \in K^n$ が $\lambda$ に属する $A$ の固有ベクトルであることと, $(v_1, \dots, v_n)x \in V$ が $\lambda$ に属する $f$ の固有ベクトルであることは同値である.
(2) $x_1, \dots, x_k \in K^n$ が $\lambda$ に属する $A$ の固有空間の基底であることと, $(v_1, \dots, v_n)x_1, \dots, (v_1, \dots, v_n)x_k \in V$ が $\lambda$ に属する $f$ の固有空間の基底であることは同値である.