2020-10-19

上極限・下極限の性質

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2020-08-25

対角化可能の判定(最小多項式)

線形代数

問題
解答
発想とポイント
類題
参考文献

問題

$A^2=E$ を満たす $A \in M(n;\mathbb{C})$ は $\mathbb{C}$ 上対角化可能であるか判定せよ.

解答

発想とポイント

命題 $A \in M(n;\mathbb{C})$ に対し, 次が同値である.
(1) $A$ は $\mathbb{C}$ 上対角化可能である.
(2) $A$ の最小多項式は重根を持たない.

類題

puzzler7.hatenadiary.com

参考文献

www.amazon.co.jp

2020-08-25

九州大学大学院数理学府　2017年度基礎第１問　解答

院試

問題
解答
発想とポイント

問題

探してください。

解答

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発想とポイント

線形変換の固有値と固有空間を求めるという典型問題である。
ただ、行列の固有値と固有空間を求める問題には慣れていても、線形変換の問題には慣れていない人も多いのではないか？
重要なのは次の２つの命題である。

命題有限次元 $K$ 線形空間上の線形変換の固有値はその任意の表現行列の固有値と等しい。

命題 $V$ を有限次元 $K$ 線形空間とし, $f:V \rightarrow V$ を線形変換とする.
$V$ の基底 $v_1, \dots, v_n$ に関する $f$ の表現行列を $A$ とする.
$\lambda$ を $f$ の固有値とする.
このとき, 次の(1), (2)が成り立つ.
(1) $x \in K^n$ が $\lambda$ に属する $A$ の固有ベクトルであることと, $(v_1, \dots, v_n)x \in V$ が $\lambda$ に属する $f$ の固有ベクトルであることは同値である.
(2) $x_1, \dots, x_k \in K^n$ が $\lambda$ に属する $A$ の固有空間の基底であることと, $(v_1, \dots, v_n)x_1, \dots, (v_1, \dots, v_n)x_k \in V$ が $\lambda$ に属する $f$ の固有空間の基底であることは同値である.

2020-08-24

チェビシェフの不等式の証明

確率統計

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2020-08-23

指数母集団の母平均の信頼区間の導出

確率統計

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参考文献
www.amazon.co.jp

2020-08-20

平成30年度東大数理科学院試　基礎　第５問　解答

院試

問題
解答
発想とポイント

問題

令和3(2021)年度修士課程入学試験について | 東京大学大学院数理科学研究科理学部数学科・理学部数学科

解答

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発想とポイント

$AX=XA$ より、 $X$ の具体的な形がわかれば $\text{dim}_{\mathbb{R}}V_A$ がわかる。
ただ $AX=XA$ の計算は無理ゲーなので、 $A$ を対角化やジョルダン標準形にする必要がある。
更に、求めたいのは $\mathbb{R}$ 上の次元だから、実ジョルダン標準形を考える。