大学数学 典型問題と定石 目次

抽象論

簡単な場合で証明できるか?そしてその場合に帰着できるか?

問題に出会ったとき、考えている対象が何かに対して不変なものであるかを確認する。
(例1) 不変量を利用する。
ある線形空間X の次元をを求めたいとする。このとき、 \dim(X) を直接求めるのではなく、X と同型で簡単なものY を見つければ良い。
平成30年度東大数理科学院試 基礎 第5問 解答 - 数学メモ置き場

(例2) 稠密と不等式を利用する。
空間X 上の関数列{f_n} と関数f に対して、ある量I(f_n)I(f) に収束することを示したいとする。このとき、X が空間Y で稠密ならば、 g_n, g \in Y をとり、|I(f_n) - I(f)| \leq |I(f_n) - I(g_n)| + |I(g_n) - I(g)| + |I(g) - I(f)|より、|I(f_n) - I(f)| の代わりに|I(g_n) - I(g)| を評価すれば良い。

平成23年東工大数学専攻院試午後第9問
・平成25年度京大数学専攻院試数学2第5問

場合分け

未知を既知の組合せで表せるか?

和・差・積・商・極限・上極限・下極限・min・max・場合分け

(道具)ある条件を満たすものが一意

  • 異なる形をした二つをとり、条件を満たすことから一意性から等号でむすべる

例題:東京大学大学院 情報理工学研究科 数理情報学 2020年度 第1問 解答 - 数学メモ置き場の(2)

集合・写像

(道具)全射

  • 問題を解くための鍵となる具体的な値域の元をとる

例題:神戸大院試数学専攻2020午前問題1 - 数学メモ置き場の(5)

微分積分学

(道具)積分と総和

例題:神戸大院試数学専攻2020午前問題3(3) - 数学メモ置き場

確率論

  • Standard machine
  •  \pi \text{-} \lambda 定理
    • 示したい性質を満たすものからなる集合を考える
  • Truncate (Cut off)
  • The subsequence method
  • Stein's method
  • Stochastic ordering
  • Distinguishing statistics
    • 全変動の下からの評価
  • Coupling
    • 全変動の上からの評価

環論

体論

微分形式