大学数学 典型問題と定石 目次
抽象論
簡単な場合で証明できるか?そしてその場合に帰着できるか?
問題に出会ったとき、考えている対象が何かに対して不変なものであるかを確認する。
(例1) 不変量を利用する。
ある線形空間 の次元をを求めたいとする。このとき、 を直接求めるのではなく、 と同型で簡単なもの を見つければ良い。
平成30年度東大数理科学院試 基礎 第5問 解答 - 数学メモ置き場
(例2) 稠密と不等式を利用する。
空間 上の関数列 と関数 に対して、ある量 が に収束することを示したいとする。このとき、 が空間 で稠密ならば、 をとり、より、 の代わりに を評価すれば良い。
場合分け
未知を既知の組合せで表せるか?
和・差・積・商・極限・上極限・下極限・min・max・場合分け
(道具)ある条件を満たすものが一意
- 異なる形をした二つをとり、条件を満たすことから一意性から等号でむすべる
集合・写像
微分積分学
(道具)積分と総和
位相空間論
確率論
- Standard machine
- 定理
- 示したい性質を満たすものからなる集合を考える
- Truncate (Cut off)
- The subsequence method
- 大数の強法則から抽象したテクニック
- Stein's method
- Stochastic ordering
- Distinguishing statistics
- 全変動の下からの評価
- Coupling
- 全変動の上からの評価