2021-01-07

多元院試2020午前問題1 解答

院試線形代数

問題
解答

問題

入学試験過去問題 - 名古屋大学大学院多元数理科学研究科・理学部数理学科

解答

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2021-01-07

線形代数学　典型問題・定石・キーワード

方法論

典型問題
定石
キーワード
- (必要十分)零写像ではない

典型問題

線形独立の判定

問題:線形独立の判定(数ベクトル) - 数学メモ置き場

ブロック行列の階数

問題:ブロック行列の階数 - 数学メモ置き場

行列と階数を線形空間と線形写像に抽象して考える

階数の不等式

生成される部分空間同士の共通部分の基底を求める

線形写像の核・像の基底を求める

可換な行列全体の空間の次元を求める

平成30年度東大数理科学院試基礎第５問解答 - 数学メモ置き場
平成 29 年度東北大学大学院理学研究科数学専攻共通問題大問1
平成 27 年度東北大学大学院理学研究科数学専攻共通問題大問1
平成 23 年度大阪大学大学院理学研究科数学専攻数学問題A 大問1
平成29年度東京工業大学大学院理学院数学系午前大問1

定石

対角化, 三角化, 標準化して簡単な行列に帰着できるか考える

行列と階数を線形空間と線形写像に抽象して考える

線形写像を行列に帰着して考える

キーワード

(必要十分)零写像ではない

$f:V \rightarrow W$ :線形写像とする.

$^\exists v \in V$ s.t. $f(v) \neq 0$ .
$\textrm{rank}f \geq1$ .

2021-01-07

神戸大院試数学専攻2020午前問題1

院試線形代数

問題
解答

問題

神戸大学理学部数学科

解答

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2021-01-07

神戸大院試数学専攻2020午前問題3(3)

院試微分積分学

問題
解答

問題

神戸大学理学部数学科

解答

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2021-01-07

大学数学　典型問題と定石　目次

方法論

抽象論
集合・写像
- (道具)全射
線形代数学
- (逆算)全射
微分積分学
- (道具)積分と総和
位相空間論
常微分方程式
ルベーグ積分
フーリエ解析
関数解析学
確率論
偏微分方程式
群論
環論
体論
多様体論
ホモロジー論
微分形式
微分幾何学

抽象論

簡単な場合で証明できるか？そしてその場合に帰着できるか？

問題に出会ったとき、考えている対象が何かに対して不変なものであるかを確認する。
(例1) 不変量を利用する。
ある線形空間 $X$ の次元をを求めたいとする。このとき、 $\dim(X)$ を直接求めるのではなく、 $X$ と同型で簡単なもの $Y$ を見つければ良い。
平成30年度東大数理科学院試基礎第５問解答 - 数学メモ置き場

(例2) 稠密と不等式を利用する。
空間 $X$ 上の関数列 ${f_n}$ と関数 $f$ に対して、ある量 $I(f_n)$ が $I(f)$ に収束することを示したいとする。このとき、 $X$ が空間 $Y$ で稠密ならば、 $g_n, g \in Y$ をとり、 $|I(f_n) - I(f)| \leq |I(f_n) - I(g_n)| + |I(g_n) - I(g)| + |I(g) - I(f)|$ より、 $|I(f_n) - I(f)|$ の代わりに $|I(g_n) - I(g)|$ を評価すれば良い。